$1$보다 큰 정수 $n$을 소인수분해하여 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$로 나타날 때, \[ \omega(n)=t, \quad \Omega(n)=a_1+a_2+\cdots+a_t\]라 정의하자. 이때 다음 명제를 증명 또는 반증하여라.
임의의 양의 정수 $k$와 양의 실수 $\alpha$, $\beta$에 대해 \[ \frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}\gt \alpha, \quad \frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}\lt \beta\]인 양의 정수 $n\gt 1$이 존재한다.