집합 $X=\{1,2,\ldots,100\}$에 대해 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$를 고려하자.
(i) 모든 $x=1,2,\ldots,100$에 대해 $f(x)\neq x$이다.
(ii) 집합 $X$의 임의의 부분집합 $A$에 대해 $\lvert A\rvert =40$이면 $A\cap f(A)\neq \emptyset$이다.
이때 이러한 모든 함수 $f$에 대해 $B\cup f(B)=X$가 되게 하는 $\lvert B\rvert=k$인 부분집합 $B$가 반드시 존재하게 할 최소의 $k$ 값을 구하여라.