양의 정수 $n$에 대하여 양의 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 있다. 이제 모든 $i\ge 1$에 대해 $a_{n+i}=a_i$가 되도록 이 수열을 무한수열로 확장하자. 이때 만일 \[ a_1\le a_2\le \cdots\le a_n\le a_1+n\]이고 모든 $i=1,2,\ldots,n$일 때 $a_{a_i}\le n+i-1$이라면, \[a_1+\cdots+a_n\le n^2\]임을 증명하라.