모든 $x\in \mathbb Q$, $a\in \mathbb Z$, $b\in \mathbb Z_{\gt 0}$에 대해 \[ f\left( \frac{f(x)+a}{b} \right) = f\left( \frac{x+a}{b}\right)\]를 만족하는 모든 함수 $f:\mathbb Q\to \mathbb Z$를 구하여라. (단, $\mathbb{Q}$는 유리수의 집합, $\mathbb{Z}$는 정수의 집합, $\mathbb{Z}_{\gt 0}$은 양의 정수의 집합이라 하자.)