식 $xy+yz+zx=3xyz$를 만족하는 세 양의 실수 $x$, $y$, $z$가 있다. 이때 부등식 \[ x^2 y+y^2z+z^2 x\ge 2(x+y+z)-3\]을 증명하고 등호가 성립할 조건을 구하여라.