학생 $n$명과 동아리 $m$개가 있는 어느 중학교에서 아래 조건을 만족하도록 학생들이 동아리에 가입하였다고 한다.

임의의 학생 $x$에 대하여, 동아리들을 적당히 잘 선택하면 그 동아리들에 모두 가입한 회원은 $x$밖에 없다.

각 학생이 가입한 동아리의 수를 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이라 할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.\[a_1!(m-a_1)!+a_2!(m-a_2)!+\cdots+a_n!(m-a_n)!\le m!\]