다음 조건을 모두 만족하는 함수 $f\colon \mathbb N\to \mathbb N$이 존재함을 보여라. 단, $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이다.
(i) $\{f(n)\colon n\in \mathbb N\}$은 유한집합이다.
(ii) $0$이 아닌 정수 $x_1,x_2,\ldots,x_{1000}$이 $f(|x_1|)=f(|x_2|)=\cdots=f(|x_{1000}|)$을 만족하면 \[x_1+2x_2+2^2 x_3+2^3 x_4+2^4x_5+\cdots +2^{999}x_{1000}\neq 0\]이다.