삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고, 직선 $AI$가 변 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 삼각형 $ABD$의 내심과 $D$를 지나는 직선이 선분 $BI$와 만나는 점을 $E$, 삼각형 $BCE$의 외접원과 만나는 점을 $P(\ne E)$라 하자. 또, 삼각형 $ACD$의 내심과 $D$를 지나는 직선이 선분 $CI$와 만나는 점을 $F$, 삼각형 $BCF$의 외접원과 만나는 점을 $Q(\ne F)$라 하자. 변 $BC$의 중점이 삼각형 $DPQ$의 외접원 위에 있음을 보여라.