함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$는 두 번 미분가능하고 $f(0)=0$을 만족한다. 다음 부등식을 증명하여라. \[ \int_0^1 \lvert f(x)f'(x) \rvert\,dx\le \frac12 \int_0^1 \lvert f'(x)\rvert^2\,dx.\]