어떤 수학경시대회에 $A$, $B$, $C$의 세 문제가 출제되었다. 이 세 문제 중 한 문제 이상 푼 참가자는 $25$명이었다. 문제 $A$를 풀지 못한 모든 참가자들 중에서, $B$를 푼 사람의 수는 $C$를 푼 사람의 수의 두 배였다. 오직 문제 $A$만을 푼 참가자의 수는 $A$를 풀고 다른 문제를 하나 이상 푼 참가자의 수보다 한 명 많았다. 정확히 한 문제만을 푼 모든 참가자들 중에서 절반은 $A$를 풀지 못했다고 한다. 이 때, 문제 $B$만을 푼 참가자는 몇 명인가?