$x_1>0$, $x_2>0$, $x_1y_1-z_1^2>0$, $x_2y_2-z_2^2>0$ 을 만족하는 모든 실수 $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$, $z_1$, $z_2$에 대해 다음 부등식 \[ \frac8{\left(x_1+x_2\right) \left(y_1+y_2\right) – \left(z_1+z_2\right)^2} \leq \frac1{x_1y_1-z_1^2} + \frac1{x_2y_2-z_2^2} \]이 성립함을 증명하여라. 그리고, 등호가 성립할 필요충분조건을 구하여라.