(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
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다음 조건을 만족하는 자연수 $a$가 무한히 많음을 증명하여라:
어떤 자연수 $n$에 대해서도 $z=n^4+a$ 는 항상 소수가 아니다.
$a_1, a_2, …, a_n$는 실수인 상수들이고, $x$는 실수인 변수이며,\[ f(x) = \cos(a_1+x) + \frac12\cos(a_2+x) + \frac14\cos(a_3+x) + \cdots + \frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x) \]이다. $f(x_1)=f(x_2)=0$ 이면, 적당한 정수 $m$에 대해 $x_2-x_1=m\pi$꼴임 증명하여라.
각각의 $k=1,2,3,4,5$에 대해, $k$개의 모서리는 길이가 $a$이고 나머지 $6-k$ 개의 모서리는 길이가 1인 사면체가 존재할 필요충분조건을 $a>0$ 에 대한 식으로 구하여라.
$AB$를 지름으로 하여 반원호 $\gamma$가 그려져 있다. $C$는 $A$나 $B$와 다른 $\gamma$ 위의 점이고, $C$에서 $AB$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. 이제 직선 $AB$에 접하는 세 원 $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$을 생각하자. $\gamma_1$은 $\triangle ABC$에 내접하는 원이고, $\gamma_2$와 $\gamma_3$은 둘다 $CD$와 $\gamma$에 접하는 원으로, 각각 $CD$의 양쪽에 하나씩 있다. $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$는 공통 접선을 하나 더 가짐을 증명하여라.
평면 위에 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 $n>4$ 개의 점이 주어져 있다. 이 중 네 점을 꼭짓점으로 하는 볼록사각형이 적어도 $\binom{n-3}2$개 있음을 증명하여라.
$x_1>0$, $x_2>0$, $x_1y_1-z_1^2>0$, $x_2y_2-z_2^2>0$ 을 만족하는 모든 실수 $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$, $z_1$, $z_2$에 대해 다음 부등식 \[ \frac8{\left(x_1+x_2\right) \left(y_1+y_2\right) – \left(z_1+z_2\right)^2} \leq \frac1{x_1y_1-z_1^2} + \frac1{x_2y_2-z_2^2} \]이 성립함을 증명하여라. 그리고, 등호가 성립할 필요충분조건을 구하여라.