삼각형 $ABC$에서, 변 $AB$ 위에 $CD$가 $AD$와 $DB$의 기하평균이 되는 점 $D$가 존재할 필요충분조건은 다음의 부등식이 성립함을 증명하여라. \[ \sin A \sin B \leq \sin^2\frac C2 \]