$AB=AC$ 인 삼각형 $ABC$가 있다. 삼각형 $ABC$의 외접원에 내접하는 어떤 원이 변 $AB$, $AC$와도 각각 $P$, $Q$에서 접한다. 선분 $PQ$의 중점이 삼각형 $ABC$의 내접원의 중심임을 증명하여라.