점 $A$와 $E$는 어떤 정팔각형의 서로 정반대편에 있는 두 꼭짓점이다. 개구리 한 마리가 점 $A$에서부터 뛰기 시작한다. 이 개구리는 $E$를 제외한 어느 꼭짓점에서나 이웃한 두 꼭짓점 중 어느 곳으로도 뛸 수 있다. 그리고, $E$에 도착하게 되면 개구리는 더 이상 움직이지 않는다. 개구리가 정확히 $n$번만에 $E$에 도달하는 서로 다른 경로의 수를 $a_n$이라 하자. 다음을 증명하여라: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n} = \frac1{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}), \qquad n=1,2,3,\ldots \] 단, $x=2+\sqrt2$, $y=2-\sqrt2$이다.