$a$, $b$, $c$가 삼각형의 세 변의 길이일 때, 다음 부등식을 증명하여라. \[ a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0 \] 등호가 성립할 조건도 구하여라.