$n$과 $k$는 주어진 서로소인 자연수로, $k<n$ 이다. 집합 $M=\{1,2,…,n-1\}$ 의 각각의 원소들을 파란색이나 흰색으로 칠하였다.
(i) 각각의 $i \in M$ 에 대해, $i$와 $n-i$ 는 같은 색이다.
(ii) $i \neq k$ 인 모든 $i \in M$ 에 대해, $i$와 $|i-k|$ 는 같은 색이다.
위의 조건이 성립한다고 할 때, $M$의 모든 원소들이 같은 색임을 증명하여라.