$n$과 $k$는 자연수이고, $S$는 다음 조건을 만족시키는 평면 위의 $n$개의 점으로 된 집합이다: $S$의 어떤 세 점도 한 직선 위에 있지 않고, $S$의 각 점 $P$에 대하여 어떤 $k$개 이상의 점들이 $P$로부터 같은 거리에 있다.\[ k < \frac12 + \sqrt{2n}\]임을 증명하여라.