하나 이상의 수를 모은 임의의 집합 $S$에 대해, 원소들의 합과 곱을 각각 $\sigma(S)$와 $\pi(S)$로 나타내자.\[ \sum \frac{\sigma(S)}{\pi(S)} = (n^2 + 2n) – \left(1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n \right)(n+1)\]임을 증명하여라. 단, $\sum$은 $\{1, 2, 3, \dots, n\}$의 공집합을 제외한 모든 부분집합 $S$에 대한 합이다.