3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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각 $A$는 각 $B$의 두 배이고 각 $C$는 둔각이며, 세 변의 길이가 모두 정수인 삼각형 $ABC$가 있다. 이 삼각형의 둘레의 길이는 최소 얼마인가?

하나 이상의 수를 모은 임의의 집합 $S$에 대해, 원소들의 합과 곱을 각각 $\sigma(S)$와 $\pi(S)$로 나타내자.\[ \sum \frac{\sigma(S)}{\pi(S)} = (n^2 + 2n) – \left(1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n \right)(n+1)\]임을 증명하여라. 단, $\sum$은 $\{1, 2, 3, \dots, n\}$의 공집합을 제외한 모든 부분집합 $S$에 대한 합이다.

임의로 주어진 자연수 $n$에 대해, 다음 수열의 각 항을 $n$을 나눈 나머지는 결국 같은 값만 반복되게 된다는 것을 보여라.
$$
2, ~ 2^2, ~ 2^{2^2}, ~ 2^{2^{2^2}}, ~ \dots
$$

$m$, $n$은 자연수이고 $a = (m^{m+1} + n^{n+1})/(m^m + n^n)$ 이다. $a^m + a^n \geq m^m + n^n$ 임을 증명하여라.

주어진 삼각형 $ABC$의 변 $AB$ 위에서 잡은 임의의 점을 $D$라 하고, 삼각형 $ACD$와 $BCD$의 내접원들의 ($AB$가 아닌) 공통외접선과 $CD$가 만나는 교점을 $E$라 하자. $D$가 변 $AB$ 위를 움직임에 따른 점 $E$의 자취는 한 원호임을 증명하여라.