$a_1, a_2, a_3, \dots$ 는 모든 자연수 $n$에 대해 $\sum_{j=1}^n a_j \geq \sqrt{n}$ 을 만족하는 양의 실수들의 수열이다. 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 증명하여라.\[ \sum_{j=1}^n a_j^2 > \frac14 \left( 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n \right)\]