삼각형 $ABC$서 $\angle BAC$의 이등분선이 변 $BC$와 만나는 점을 $P$라 하고, $\angle ABC$의 이등분선이 변 $CA$와 만나는 점을 $Q$라 하자. $\angle BAC=60^{\circ}$이고 $\overline{AB}+\overline{BP}=\overline{AQ}+\overline{QB}$임이 알려져 있다고 하자. 이 때 삼각형 $ABC$의 가능한 세 각의 크기는 무엇인가?