자연수 $n$에 대하여, 3차원 공간에 있는 $(n+1)^3-1$ 개의 점들의 집합\[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \dotsc, n\}, ~ x+y+z>0\}\]을 생각하자. 원점 $(0,0,0)$을 포함하지 않는 유한 개의 평면들의 합집합이 집합 $S$를 포함하도록 하려고 한다. 이를 위해 필요한 평면들의 최소 개수를 구하여라.