(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다)
베트남 하노이
한국대표팀: 3위
- 단장: 이승훈 (영동대)
- 부단장: 송용진 (인하대), 김명환 (서울대), 윤영진 (군산대)
- 대표학생: 강환 (한성과고2, 금메달), 김윤주 (서울과고3, 은메달), 심정수 (서울과고2, 은메달), 양제하 (서울과고2, 금메달), 이석형 (서울과고2, 은메달), 이수홍 (중앙고1, 은메달)
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실수 $a_1, a_2, \dotsc, a_n$이 주어져 있다. 각각의 $i$ $(1\leq i\leq n)$에 대하여, \[ d_i := \max\{a_j:1\leq j\leq i\} – \min\{a_j:i\leq j\leq n\}\]으로 정의하고, $d := \max\{d_i:1\leq i\leq n\}$이라 하자.
(a) 임의의 실수 $x_1\leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$ 에 대하여 다음의 부등식이 성립함을 증명하여라.\[ \max\{|x_i-a_i|:1\leq i\leq n\} \geq \dfrac{d}{2} \]
(b) 위 부등식에서 등호를 만족시키는 실수 $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_n$이 존재함을 보여라.
다섯 개의 점 $A, B, C, D, E$를 생각하자. 사각형 $ABCD$는 평행사변형이고, 볼록사각형 $BCED$는 원에 내접한다고 하자. 점 $A$를 지나는 직선 $\ell$이, 선분 $DC$의 내부와 점 $F$에서 만나고, 직선 $BC$와 점 $G$에서 만난다고 하자. $EF=EG=EC$ 일 때, 직선 $\ell$이 각 $DAB$의 이등분선임을 증명하여라.
수학 경시대회에서, 어떤 참가자들은 서로 친구다. 친구란 항상 상호 대칭적 관계이다. 어떤 두 명을 택해도 서로 친구인 참가자들의 모임을 `조직’이라 부르자(단, 두 명 미만의 참가자로 이루어진 모임도 조직으로 간주한다). 같은 조직에 속하는 참가자들의 수를 그 조직의 `크기’라 부르자.
이 경시대회에서 가장 큰 조직의 크기가 짝수라고 한다. 전체 참가자들을 두 개의 고사실에 나누어 배치하되, 한 고사실의 가장 큰 조직의 크기가 다른 고사실의 가장 큰 조직의 크기와 같도록 배치할 수 있음을 증명하여라.
삼각형 $ABC$에서, 각 $BCA$의 이등분선이, 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 또 다른 점을 $R$, 변 $BC$의 수직이등분선과 만나는 점을 $P$, 변 $AC$의 수직이등분선과 만나는 점을 $Q$라 하자. 변 $BC$의 중점을 $K$, 변 $AC$의 중점을 $L$이라 할 때, 삼각형 $RPK$와 삼각형 $RQL$의 넓이가 같음을 증명하여라.
자연수 $a$, $b$에 대하여, $(4a^2-1)^2$이 $4ab-1$ 로 나누어 떨어지면, $a=b$ 임을 보여라.
자연수 $n$에 대하여, 3차원 공간에 있는 $(n+1)^3-1$ 개의 점들의 집합\[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \dotsc, n\}, ~ x+y+z>0\}\]을 생각하자. 원점 $(0,0,0)$을 포함하지 않는 유한 개의 평면들의 합집합이 집합 $S$를 포함하도록 하려고 한다. 이를 위해 필요한 평면들의 최소 개수를 구하여라.