양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하고, 각 부등식의 등호조건을 구하여라.\[ \frac{a+b+c}3 \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}3} \leq \frac{\frac{ab}c + \frac{bc}a + \frac{ca}b}3\]