(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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$p \mid q+6$ 이고 $q \mid p+7$ 인 소수 $p$, $q$를 모두 구하여라.
삼각형 $ABC$가 직각삼각형일 때, 또 그 때만 다음 식이 성립함을 증명하여라.\[ \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2\]
$P$는 원 $C$ 위의 고정점이고 $Q$는 직선 $l$ 위의 고정점이다. $R$은 $P$, $Q$, $R$이 일직선을 이루지않는 한에서 원 $C$ 위를 움직이는 점이다. $P$, $Q$, $R$을 지나는 원이 직선 $l$과 다시 만나는 점을 $V$라고 할 때, 직선 $VR$은 항상 한 고정점을 지남을 보여라.
갑 항공사와 을 항공사는 6개 도시를 연결하는 비행 직항로를 운항하고 있다. 각각의 두 도시 쌍마다 갑과 을 중 한 회사가 (양방향의) 직항로를 운항한다. 한 회사만을 이용하여 순환여행할 수 있는 네 도시가 있음을 증명하여라. (단, 네 도시 $P$, $Q$, $R$, $S$의 순환여행이라 함은 $P \to Q \to R \to S \to P$ 와 같이 돌아오는 경로를 뜻한다.)
$0 \leq r \leq n$ 인 정수 $r$, $n$에 대해 다음을 증명하여라.
(1) $\frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom nr$ 은 정수이다.
(2) $n \geq 9$에 대해 $\displaystyle \sum_{r=0}^{[n/2]} \frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom nr < 2^{n-2}$
삼차방정식 $x^3 – 2007x + 2002 = 0$ 의 세 근을 $r$, $s$, $t$라 할 때 다음 식의 값을 구하여라.\[ \frac{r-1}{r+1} + \frac{s-1}{s+1} + \frac{t-1}{t+1}\]
양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음을 증명하고, 각 부등식의 등호조건을 구하여라.\[ \frac{a+b+c}3 \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}3} \leq \frac{\frac{ab}c + \frac{bc}a + \frac{ca}b}3\]
삼각형 $ABC$의 세 변 $BC$, $CA$, $AB$의 길이를 $a$, $b$, $c$로 나타내자. 세 내각의 이등분선 $AD$, $BE$, $CF$의 길이를 각각 $d$, $e$, $f$로 나타내자. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $\Delta$라 할 때, 다음을 증명하여라.\[ def = \frac{4abc(a+b+c)\Delta}{(a+b)(b+c)(c+a)}\]
$2007!$의 십진전개에서 마지막에 연속적으로 나타나는 0의 개수를 구하고, 0이 아닌 마지막 자릿수가 무엇인지도 구하여라.
$a$, $b$는 실수이고, 이차다항식 $f(x) = x^2 + ax + b$ 은 음이 아닌 실수해($f=0$의 해)를 갖지 않는다고 한다. 모든 실수 $x$에 대해 \[ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\]를 만족하는, 음 아닌 실수들만을 계수로 갖는 두 다항식 $g$, $h$가 존재함을 증명하여라.