0과 1만으로 된 $n$항의 수열 $(x_1, x_2, \dots, x_n)$을 길이 $n$의 이진수열이라고 부르자. 길이 $n$의 이진수열 중에서 연속한 세 항이 차례로 0, 1, 0인 경우가 없는 수열의 개수를 $a_n$이라 하고, 길이 $n$의 이진수열 중에서 연속한 네 항이 차례로 0, 0, 1, 1이거나 1, 1, 0, 0인 경우가 없는 수열의 개수를 $b_n$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대해 $b_{n+1} = 2a_n$ 임을 증명하여라.