삼각형 $ABC$가 다음을 만족한다고 하자.\[ \left( \cot \dfrac{A}{2} \right)^2 + \left(2 \cot \dfrac{B}{2} \right)^2 + \left( 3 \cot \dfrac{C}{2} \right)^2 = \left( \dfrac{6s}{7r} \right)^2\] 여기서 $s$와 $r$은 각각 둘레의 절반과 내접원의 반지름이다. 이 때, 삼각형 $ABC$는 세 변의 길이가 모두 서로 소이면서 양의 정수인 어떤 삼각형 $T$와 닮음임을 증명하여라. 그리고, $T$의 세 변의 길이도 결정하여라.