양의 정수 $n$에 대해 $f(n)$을 양의 정수의 수열 $a_1,\ldots,a_k$ 중 $k\ge0$, $a_i\ge 2$이면서 $a_1a_2\cdots a_k=n$이 되는 것의 개수라고 하자. (단, $f(1)=1$.) 그리고 $1$보다 큰 실수 중에 $\sum_{n=1}^\infty n^{-\alpha} = 2$가 되는 유일한 실수를 $\alpha$라 하자. 이때 다음을 증명하라.
(a) $\sum_{k=1}^n f(k)=O(n^\alpha)$.
(b) $f(n)=O(n^\beta)$가 되는 $\beta\lt \alpha$는 존재하지 않는다.