양의 정수 $n$에 대해, $a_1 = n$이고, 각각의 $k \gt 1$ 에 대해 $a_k$는 $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ 가 $k$의 배수가 되는 $0 \leq a_k \leq k-1$ 범위의 유일한 정수로 정의하자. 예를 들어, $n=9$ 이면 수열은 $9, 1, 2, 0, 3, 3, 3, \dots$ 이 된다. 임의의 $n$에 대해 수열 $a_1, a_2, \ldots$는 항상 결국 상수가 됨을 증명하여라.