각 변이 어떤 정수 $a$, $b$에 대해 $x=a$꼴 직선이나 $y=b$꼴 직선 위에 있는 다각형을 바둑판 다각형이라고 부르자. 바둑판 다각형의 내부는 한 변의 길이가 $1$인 칸으로 분할할 수 있는데, 이웃한 칸은 다른 색이 되도록 회색과 흰색으로 칠할 수 있다. 어떤 바둑판 다각형의 내부를 가로 $1$, 세로 $2$인 도미노로 겹치지 않게 분할하고자 할 때, 그림의 왼쪽에 있는 형태를 포함하지 않으면 좋은 분할이라고 하자. 오른쪽 그림에 $3\times 4$ 바둑판을 분할하는 방법 두 가지를 보여주는데 첫번째 그림은 좋은 분할이고 두 번째 그림은 오른쪽 위 구석에 있는 모양때문에 좋지 않은 분할이다.

(a) 어떤 바둑판 다각형을 가로 $1$, 세로 $2$인 도미노로 분할할 수 있다면 좋은 분할도 존재함을 증명하라.
(b) 이때 좋은 분할은 유일함을 증명하라.