$1$보다 큰 양의 정수 $n$에 대해 부등식 \[ (a_1+a_2+\cdots+a_n)\left(\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}\right)\le \left(n+\frac12\right)^2\]을 만족시키는 양의 실수 $a_1, a_2,\ldots,a_n$이 있다고 하자. 이때 \[ \max(a_1,a_2,\ldots,a_n)\le 4\min(a_1,a_2,\ldots,a_n)\]임을 보여라.