홀수인 소수 $p$에 대해 $q=\frac{3p-5}{2}$라 하고 \[ S_q=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac1{5\cdot 6\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{q\cdot(q+1)\cdot (q+2)}\]이라 하자. 이때 $\frac1p-2S_q=\frac{m}{n}$이고 $m$, $n$이 서로소라면 $m-n$은 $p$의 배후임을 보여라.