실수의 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 $a_0=-1$이며 모든 $n\ge 1$에 대해 \[\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{n-k}}{k+1}=0\]을 만족한다. 이때 모든 $n\ge 1$에 대해 $a_n\gt 0$임을 보여라.