양의 정수 $n$($n\ge 3$)에 대하여 크기가 $n^2\times n^2$인 행렬 $A=(a_{ij})$가 다음과 같이 주어진다. \[ a_{ij}=\begin{cases}1,&\text{$i+j$가 $n$의 배수인 경우}\\0,&\text{$i+j$가 $n$의 배수가 아닌 경우}\end{cases}\] 이 때, $A$의 모든 고유치와 각 고유치에 해당되는 고유공간의 차원을 구하여라.