홀수인 양의 정수 $q$에 대해 $N_q$를 $0\lt a\lt q/4$이면서 $\operatorname{gcd}(a,q)=1$인 정수 $a$의 개수라 하자. 이때 $N_q$가 홀수인 필요충분조건이 $8$로 나누어 $5$나 $7$이 남는 어떤 소수 $p$와 어떤 양의 정수 $k$에 대해 $q=p^k$꼴인 것임을 보여라.