3차원 유클리드 공간에 어느 4점도 한 평면 위에 있지 않는 $n$개 점의 집합이 있다. 이 집합은 두 부분집합 $\mathcal A$와 $\mathcal B$로 분할되어 있다. $\mathcal A$에 속한 점과 $\mathcal B$에 속한 점을 잇는 선분을 $n-1$개를 잘 모아서 다각형이 만들어지지 않게 하면 이 모임을 $\mathcal{AB}$-나무라 하자. 하나의 $\mathcal{AB}$-나무에서 다른 $\mathcal{AB}$나무를 아래와 같은 방식으로 얻는 연산이 있다고 하자: 만일 $\mathcal{AB}$-나무 안에 있는 서로 다른 세 선분 $A_1B_1$, $B_1A_2$, $A_2B_2$ (단, $A_1\in \mathcal A$)가 부등식 $A_1B_1+A_2B_2\gt A_1B_2+A_2B_1$을 만족시킬 때, 선분 $A_1B_1$을 지우고 대신 $A_1B_2$를 추가할 수 있다.
임의의 $\mathcal{AB}$-나무에서 시작하여 어떻게 위 연산을 적용하더라도 언젠가는 더 이상 위 연산을 적용할 수 없는 상황이 생긴다는 것을 증명하라.