2016년 2월 26일-27일 매일 4시간 30분.
이 대회에는 한국학생 6명이 처음으로 출전하였습니다.
⊙ 단 장 : 송용진(인하대)
⊙ 부 단 장 : 최수영(아주대)
⊙ 대 표 학 생 : 박상준(서울과학고등학교 2), 백승윤(서울과학고등학교 1), 안정현(서울과학고등학교 1), 양서연(서울과학고등학교 2), 이소흔(서울과학고등학교 2), 이유성(서울과학고등학교 2)
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삼각형 $ABC$의 변 $BC$위의 점 $D$($D\neq B$, $D\neq C$)가 있다. 세 점 $A$, $B$, $D$를 지나는 원이 변 $AC$와 다시 만나는 점을 $E$라 하자. 세 점 $A$, $C$, $D$를 지나는 원이 변 $AB$와 다시 만나는 점을 $F$라 하자. 직선 $BC$에 대해 점 $A$를 대칭시켜 얻은 점을 $A’$이라 하자. 직선 $A’C$와 $DE$가 점 $P$에서 만나고, 직선 $A’B$와 $DF$가 만나는 점을 $Q$라 하자. 이때 직선 $AD$, $BP$, $CQ$는 한 점에서 만나거나 서로 평행함을 증명하라.
양의 정수 $m$, $n\ge m$에 대해 가로 $m$칸, 세로 $2n$칸인 바둑판에 아래 4개의 조건을 동시에 만족하게 $1\times 2$나 $2\times 1$ 크기의 도미노를 최대한 많이 올려놓을 때 그 최댓값을 구하여라.
(i) 각 도미노는 바둑판에서 정확히 두 개의 서로 이웃한 칸을 덮는다.
(ii) 도미노 둘이 겹치지는 않는다.
(iii) 도미노 둘이 $2\times 2$ 정사각형을 만들지 않는다.
(iv) 바둑판의 제일 아랫줄은 정확히 $n$개의 도미노로 덮여있다.
정수의 수열 $a_n$이 어떤 정수인 상수 $b$, $c$, $d$과 (음수를 포함한) 모든 정수 $n$에 $a_n=n^3+bn^2+cn+d$일 때 그 수열을 3차 수열이라 하자.
(a) 3차 수열 중에 완전제곱수인 항은 $a_{2015}$와 $a_{2016}$ 뿐인 3차 수열이 존재함을 보여라.
(b) 조건 (a)를 만족하는 3차 수열에서 $a_{2015}\cdot a_{2016}$이 될 수 있는 모든 값을 구하여라.
양의 실수 $x$, $y$가 부등식 $x+y^{2016}\ge 1$을 만족한다고 하자. 이때 $x^{2016}+y\gt 1-1/100$이 참임을 보여라.
볼록육각형 $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$이 반지름 $R$인 원 $\Omega$에 내접한다고 하자. 세 대각선 $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$이 점 $X$에서 만난다고 하자. 모든 $i=1,2,3$에 대해 두 선분 $XA_i$, $XB_i$와 접하면서 $\Omega$의 호 $A_iB_i$에 모두 접하는 원을 $\omega_i$라 하며, 이 원 $\omega_i$의 반지름을 $r_i$이라 하자.
(a) $R\ge r_1+r_2+r_3$임을 증명하라.
(b) 만일 $R=r_1+r_2+r_3$이면, $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$가 대각선 $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$과 만나는 점 $6$개는 한 원 위에 있음을 보여라.
3차원 유클리드 공간에 어느 4점도 한 평면 위에 있지 않는 $n$개 점의 집합이 있다. 이 집합은 두 부분집합 $\mathcal A$와 $\mathcal B$로 분할되어 있다. $\mathcal A$에 속한 점과 $\mathcal B$에 속한 점을 잇는 선분을 $n-1$개를 잘 모아서 다각형이 만들어지지 않게 하면 이 모임을 $\mathcal{AB}$-나무라 하자. 하나의 $\mathcal{AB}$-나무에서 다른 $\mathcal{AB}$나무를 아래와 같은 방식으로 얻는 연산이 있다고 하자: 만일 $\mathcal{AB}$-나무 안에 있는 서로 다른 세 선분 $A_1B_1$, $B_1A_2$, $A_2B_2$ (단, $A_1\in \mathcal A$)가 부등식 $A_1B_1+A_2B_2\gt A_1B_2+A_2B_1$을 만족시킬 때, 선분 $A_1B_1$을 지우고 대신 $A_1B_2$를 추가할 수 있다.
임의의 $\mathcal{AB}$-나무에서 시작하여 어떻게 위 연산을 적용하더라도 언젠가는 더 이상 위 연산을 적용할 수 없는 상황이 생긴다는 것을 증명하라.