양의 정수 $n$ 중 $n^4$이 $n^2+1$, $n^2+2$, $\ldots$, $n^2+2n$ 중에 약수를 가지는 $n$의 집합을 $S$라 하자. 이때 집합 $S$에는 $7m$, $7m+1$, $7m+2$, $7m+5$, $7m+6$꼴 각각별로 그 꼴에 해당하는 정수가 무한히 많이 있음을 보여라. 한편, $7m+3$꼴이나 $7m+4$꼴인 정수는 $S$에 없음도 보여라. 단, $m$은 정수이다.