2016년 4월 12일-13일. 하루 3문제, 4시간 30분씩 이틀간.
장소: 루마니아.
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홀수인 양의 정수 $n$이 있다. 음 아닌 실수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$에 대해 다음 부등식을 보여라. \[\min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \le \max_{j=1,\ldots,n} (2x_j x_{j+1}).\] (단, $x_{n+1}=x_1$.)
원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 만나는 점을 $X$라 하자. 선분 $CX$, $DX$, $CD$의 중점을 각각 $C_1$, $D_1$, $M$이라 하자. 직선 $AD_1$와 $BC_1$이 만나는 점을 $Y$라 하고, 직선 $MY$가 두 대각선 $AC$, $BD$와 서로 다른 점 $E$, $F$에서 각각 만난다고 한다. 이때, 직선 $XY$는 $E$, $F$, $X$를 지나는 원과 접한다는 것을 보여라.
양의 정수 $m$에 대해 $4m\times 4m$ 크기의 바둑판을 생각하자. 서로 다른 두 칸이 같은 행이나 같은 열에 있에 있을때 그 두 칸이 연관되어 있다고 하자. 어느 칸도 자기 자신과 연관되어 있지는 않다. 각 칸이 적어도 두 개 이상의 파란색 칸과 연관되어 있도록 일부 칸이 파란색으로 칠해져 있다고 할 때 파란색 칸의 수의 최솟값을 구하여라.
반지름이 같은 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$가 서로 다른 두 점 $X_1$, $X_2$에서 만난다. 원 $\omega_1$에 점 $T_1$에서 외접하는 원 $\omega$가 원 $\omega_2$에서는 점 $T_2$에서 내접한다고 한다. 이때, 직선 $X_1T_1$과 $X_2T_2$이 만나는 점은 $\omega$ 위에 있음을 보여라.
정수 $k$, $n$이 $k\ge 2$, $k\le n\le 2k-1$을 만족한다. 크기가 $1\times k$, $k\times 1$인 직사각형 모양의 타일을 $n\times n$ 크기의 바둑판에 각 타일이 정확히 $k$개 칸을 덮고 서로 다른 타일이 겹치지 않게 놓는다. 각 $k$, $n$에 대해 위 규칙을 지키면서 더 이상 놓을 수 없을때까지 타일을 놓을 수 있다고 할때, 필요로 하는 타일 수의 최솟값을 구하라.
양의 정수 $n$ 중 $n^4$이 $n^2+1$, $n^2+2$, $\ldots$, $n^2+2n$ 중에 약수를 가지는 $n$의 집합을 $S$라 하자. 이때 집합 $S$에는 $7m$, $7m+1$, $7m+2$, $7m+5$, $7m+6$꼴 각각별로 그 꼴에 해당하는 정수가 무한히 많이 있음을 보여라. 한편, $7m+3$꼴이나 $7m+4$꼴인 정수는 $S$에 없음도 보여라. 단, $m$은 정수이다.