집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $S$에서 모든 원소 $a\in S$에 대해 $\frac{a+b}{2}\in S$가 될 $a$와 다른 $S$의 원소 $b$가 존재한다면 그 집합 $S$를 균형잡힌 집합이라 하자.

(a) 정수 $k>1$에 대해  $n=2^k$라 하자. 이때 $|S|>\frac{3n}{4}$인 $\{1,2,\ldots,k\}$의 임의의 부분집합 $S$는 균형잡힌 집합임을 보여라.

(b) $n=2^k$이며 $|S|>\frac{2n}{3}$인 $\{1,2,\ldots,n\}$의 부분집합 $S$가 모두 균형잡힌 부분집합이 될 정수 $k>1$가 존재하는가?