$2$보다 큰 정수 $n$이 있다. 카드 한 벌에 \[ 1, 2, 3, \ldots, \frac{n(n-1)}{2}\]가 적힌 총 $\frac{n(n-1)}{2}$개의 카드가 있다. 연속한 수가 적힌 두 장의 카드나 $1$, $\frac{n(n-1)}{2}$가 적힌 두 장의 카드는 마법쌍이라 부른다. 전체 카드를 $n$개의 모듬으로 잘 나누었더니 임의의 서로 다른 두 모임 사이에서 만들어지는 마법쌍은 정확히 하나씩밖에 없었다고 할때 가능한 $n$을 모두 구하여라.