양의 정수 \(n\)에 대하여 \(n\)개의 양의 실수 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)이 \(a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n\)을 만족한다. 양의 실수 \(b_i\)에 대해서 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. \[ \frac{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n} \le \max\left\{ \frac{b_1}{1},\frac{b_1+b_2}{2},\ldots,\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}\right\}\]