2016년 11월 12일 토요일. 오전 4문제, 오후 4문제.
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양의 정수 $n$에 대하여 방정식 \[ x^2+2016y^2=2017^n\]을 만족하는 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수를 $n$에 대한 식으로 나타내어라.
이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 접하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고, 내심을 $I$라 하자. 직선 $AD$와 내접원의 교점을 $G$($\neq D$)라 하고, 점 $G$에서의 내접원의 접선이 변 $AC$와 만나는 점을 $H$라 하고, 직선 $IH$와 $AD$의 교점을 $K$라 하자. 점 $I$에서 직선 $AD$에 내린 수선의 발을 $L$이라 할 때, $\overline{IE}\cdot \overline{IK}=\overline{IC}\cdot \overline {IL}$임을 보여라.
넓이가 $S$이고 둘레의 길이가 $L$인 예각삼각형 $ABC$ 내부의 점 $P$에서 변 $BC$, $CA$, $AB$에 내린 수선의 길이가 각각 1, 1.5, 2라 하자. 변 $BC$와 직선 $AP$가 만나는 점을 $D$, 변 $CA$와 직선 $BP$가 만나는 점을 $E$, 변 $AB$와 직선 $CP$가 만나는 점을 $F$라 하고, 삼각형 $DEF$의 넓이를 $T$라 하자. 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \left( \frac{AD\cdot BE\cdot CF}{T}\right)^2 > 4L^2+\left( \frac{ AB\cdot BC\cdot CA}{24 S}\right)^2 \]
양의 정수 $n$에 대해서 집합 $S_n$은 다음 두 조건을 모두 만족하는 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$의 집합이다.
(i) $a_1=1$
(ii) 모든 $i=1,2,\ldots,n-1$에 대해서 $a_{i+1}\le a_{i}+1$
양의 정수 $k$ ($\le n$)에 대해서 집합 $S_n$의 원소 중 $a_k=1$, $a_{k+1}=2$인 것의 개수를 $N_k$라고 할 때, $N_1+N_2+\cdots+N_{n-1}$을 구하시오.
이등변 삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고, 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 접하는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 직선 $EF$가 삼각형 $CEI$의 외접원과 만나는 점을 $P\neq E$라 할 때, 삼각형 $ABC$의 넓이는 삼각형 $ABP$의 넓이의 2배임을 보여라.
양의 정수 \(n\)에 대하여 \(n\)개의 양의 실수 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)이 \(a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n\)을 만족한다. 양의 실수 \(b_i\)에 대해서 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. \[ \frac{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n} \le \max\left\{ \frac{b_1}{1},\frac{b_1+b_2}{2},\ldots,\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}\right\}\]
서로 다른 홀수인 소수 \(p_1,p_2,\ldots,p_k\)와 음이 아닌 정수 \(a,b_1,b_2,\ldots,b_k\)에 대하여 \(N=2^a p_1^{b_1} p_2^{b_2} \cdots p_k^{b_k}\)라 하자. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)의 개수는 \((b_1+1)(b_2+1)\cdots (b_k+1)\)임을 보여라.
조건: \( \frac{n(n+1)}{2}\le N\)이고, \(\left( N-\frac{n(n+1)}{2}\right)\)은 n의 배수이다.
집합 {0,1,…,2000}의 부분집합 S가 401개의 원소를 가지면 다음 성질을 만족함을 보여라.
x와 x+n이 모두 S에 속하는 x가 70개 이상 존재하는 양의 정수 n이 있다.