양의 실수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 다음 두 조건을 모두 만족한다.

(i) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=a_1^2\times a_2^2\times\cdots \times a_n^2-3$

(ii) $\frac{1}{2}(a_1+\sqrt{a_2-1})$은 양의 정수

모든 양의 정수 $n$에 대하여 $\frac{1}{2} (a_1\times a_2\times\cdots\times a_n+\sqrt{a_{n+1}-1})$은 양의 정수임을 보여라.