양의 실수 $M$에 대하여 연속함수 $f:[0,\infty]\to [0,M]$가 \[ \int_0^\infty (1+x)f(x)\,dx \lt \infty \]를 만족할 때, 다음 부등식을 증명하여라. \[ \left(\int_0^\infty f(x)\,dx\right)^2 \le 4M \int_0^\infty x f(x)\,dx\]