모든 정수 $m, n\ge 1$에 대해 \[ a(n+m)\le a(n)+a(m)+\frac{n+m}{\log(n+m)}\]이면서 $\{a(n)/n:n\ge 1\}$이 실직선 위에서 everywhere dense인 실수의 수열 $a(1)$, $a(2)$, $\ldots$, $a(n)$, $\ldots$이 존재함을 보여라.

참고: de Brujin과 Erdős의 정리에 의하면 $f(n)\ge 0$이며 $\sum_{n=2}^\infty f(n)/n^2<\infty$인 함수 $f$에 대해 위 부등식에서 마지막 항을 $f(n+m)$으로 바꾼 것이 성립하면 $a(n)/n$이 수렴하거나 $-\infty$로 발산한다.