어떤 수 양의 정수 $n$이 완전제곱수이거나 가장 가까운 완전제곱수와의 차이가 완전제곱수라면 그 수 $n$을 ‘대략제곱수’라 부르자. 예를 들어 2016은 대략제곱수인데, 왜냐하면 2016에 가장 가까운 완전제곱수는 $45^2 = 2025$이며 $2025-2016=9$는 완전제곱수이기 때문이다. (물론 1부터 10까지 양의 정수 중에는 6과 7만이 대략제곱수가 아니다.)
양의 정수 $N$에 대해 1 이상 $N$ 이하인 대략제곱수의 수를 $s(N)$이라 하자. 이때 \[
\lim_{N \to \infty} \frac{S(N)}{N^\alpha} = \beta\]인 양의 상수 $\alpha$, $\beta$가 존재함을 보이거나, 그런 상수가 존재하지 않음을 보여라.