양의 정수 $n$에 대해 $S_n=\{1,2,\ldots,n\}$이라 하자. 어떤 $S_n$의 공집합이 아닌 부분집합 $T$를 생각하자. 만일 $T$의 중간값이 $T$의 평균과 같으면 이때 $T$를 균형이 맞다고 하자. 예를 들어 $n=9$인 경우, 집합 $\{7\}$, $\{2,5\}$, $\{2,3,4\}$, $\{5,6,8,9\}$, $\{1,4,5,7,8\}$ 각각은 균형이 맞으나, $\{2,4,5\}$, $\{1,2,3,5\}$는 균형이 맞지 않는다. 각각의 $n\ge 1$에 대하여 $S_n$의 균형의 맞는 부분집합의 수는 홀수개임을 보여라.

($k$개의 수의 집합의 중간값이란 이 수를 크기가 증가하는 순으로 늘어놓았을 때, $k$가 홀수인 경우는 가장 가운데 있는 수로 하고, $k$가 짝수일 때에는 가운데 있는 두 수의 평균으로 정의한다. 예를 들어 $\{1,3,4,8,9\}$의 중간값은 $4$이며, $\{1,3,4,7,8,9\}$의 중간값은 $(4+7)/2=5.5$이다.)