양의 정수 $s$, $t$에 대하여, 모든 항이 양의 정수인 수열 $a_n$을 다음과 같이 정의하자: $a_1=s$, $a_2=t$, 그리고 모든 $n\ge 1$에 대하여 \[ a_{n+2}=[\sqrt{ a_n+(n+2)a_{n+1}+2008}].\] 단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다. 이 때, 집합 $\{\text{$n$은 양의 정수} \mid a_n\neq n\}$이 유한집합임을 보여라.